De son enfance à son adolescence, tout enfant parcourt un itinéraire qui, par phases successives, lui permet de passer de la pensée relationnelle simple à la pensée relationelle complexe. À chaque étape de ce développement, l'espace « au sein » duquel il vit, et qu'il expérimente en agissant, lui fournit des intuitions géométriques fondamentales, qui fonctionnent comme des sortes de modèles pour la pensée en général. Une figure géométrique portant en elle une richesse relationnelle qui est complexe, mais pourtant souvent accessible, l'enfant peut, en effet, prendre appui sur elle pour organiser tel ou tel raisonnement déductif, dont il aurait sans cela du mal à maîtriser toutes les séquences. Décrire pas à pas les intuitions spatiales de plus en plus riches que l'enfant élabore à partir de son expérience quotidienne, et de ses activités scolaires, montrer comment ces intuitions se rattachent aux trois grands domaines de la géométrie que sont la topologie, la géométrie projective et la géométrie métrique, indiquer comment l'éclosion de ces intuitions peut être facilitée par des exercices et des jeux appropriés, tel est le triple projet du présent ouvrage. C'est dire qu'il s'adresse à tous ceux qui, professionnellement ou non, enseignants ou parents, participent à l'éducation des enfants, de la maternelle à l'adolescence. Point n'est besoin, pour l'aborder, d'un savoir mathématique préalable. Les connaissances requises sont en effet présentées au fil des pages, suivant une démarche progressive et naturelle. Quant aux personnes pour qui la géométrie est déjà familière, elles trouveront sans doute dans ces pages un éclairage nouveau, qui leur permettra de placer leurs connaissances géométriques dans un contexte psychogénétique stimulant.

Par notions topologiques, on entend l'ensemble des relations spatiales élémentaires : relations de voisinage, de continuité et d'ordre, d'intérieur et d'extérieur, de frontière et de domaine, de troué et de non troué, etc. Elles constituent le "matériau" de base avec lequel, dès l'âge de quatre à cinq ans, les enfants construisent et représentent l'espace qui les entoure, et où ils évoluent ; mais elles agissent également dans les multiples jeux où interviennent des "camps" bien délimités, des successions de déplacements (jeu de la marelle...), des itinéraires divers (parcours fléchés, labyrinthes, etc.). Ces notions forment le vocabulaire et la syntaxe d'une sorte de "langage visuel", auquel recourt de plus en plus le monde moderne pour traduire en "imageries" des situations complexes mettant en jeu des relations proprement spatiales (schémas d'échangeurs routiers, plan de métro, etc.), des relations technico-logiques (circuit de câblage d'ordinateur...), ou des relations sociales ("arbres de parenté", organigramme d'entreprise, etc.). Dans cet ouvrage, encore sans équivalent en France, elles sont mises à la portée de tous, mathématiciens ou non, grâce à une conception et une présentation qui les dépouillent de leur mystère et de leur habillage formel. Elles apparaissent comme surgissant de situations, familières ou non, et de jeux, qui posent au lecteur des questions auxquelles il doit répondre par sa propre activité. De page en page, de problème en problème, il se trouve ainsi conduit à tisser les fils de ses raisonnements, qui prennent forme de structure. Parents d'élèves, enseignants, étudiants de toutes disciplines - comme tout un chacun concerné par ces questions - pourront ainsi maîtriser une des "structures mères" de la mathématique actuelle et, sans doute, la plus fondamentale.